Interactief en uitdagend wiskundeonderwijs
 
 

Wiskunde allerlei

Praktische opdrachten en profielwerkstukken
Algemene informatie over praktische opdrachten en profielwerkstukken.

Wiskunde A-lympiade en Wiskunde B-dag
Het Freudenthal Instituut organiseert elk jaar de wiskunde A-lympiade. De opdrachten zijn prima te gebruiken als praktische opdrachten voor de maatschappijprofielen op het VWO. Sinds 1999 bestaat er ook een B-variant van de A-lympiade: de Wiskunde B-dag. Deze opgaven sluiten aan bij de natuurprofielen van HAVO en VWO. Meer informatie en oude opgaven zijn te vinden op de website van het Freudenthal Instituut: A-lympiade en Wiskunde B-dag.

Een praktische opdracht of profielwerkstuk maken aan de KUN
Zit je op het VWO en heb je wiskunde b1 of b12 in je programma, dan kun je meedoen aan de cursus Wiskundig Denken aan de KUN.
Kijk voor meer informatie op de website van Wiskundig Denken.

 

Diverse wiskundige onderwerpen
Online teksten en cursussen, vaak met opdrachten (en uitwerkingen). Voor Engelstalige pagina's zijn er lijstjes gemaakt met de vertalingen en uitleg van de belangrijkste begrippen en waar nodig is er een samenvatting of inleiding in het Nederlands gemaakt.

Perfecte getallen
Perfecte getallen zijn getallen waarvoor geldt dat ze gelijk zijn aan de som van de delers, behalve het getal zelf. Een voorbeeld van een perfect getal is 6 want 6=1+2+3. Hoe vind je andere perfecte getallen en hoeveel zijn er? Heng O.K. schreef er een cursus over. Veel van wat er bekend is over perfecte getallen kun je zelf ontdekken door de opdrachten te maken. Via de gele driehoekjes in de tekst kun je extra achtergrondinformatie en hints of de uitwerkingen van de opdrachten bekijken. Het is in het Engels geschreven, maar er is een extra toelichting in het Nederlands beschikbaar.

Somrijen
Bereken de som van de getallen 1 tot en met 100. Door getallenrijen en de bijbehorende somrijen te bestuderen blijken dit soort vragen veel makkelijker te beantwoorden dan je op het eerste gezicht zou denken. Op de pagina van Hans Klein is van alles te vinden over somrijen. Deze pagina's zijn ook goed te volgen als je het onderwerp rijen op school nog niet hebt gehad.

Rij van Fibonacci en de Gulden Snede
Stel we beginnen met één paar jonge konijnen dat zich vanaf de tweede levensmaand begint voort te planten. Elke maand levert dat één nieuw konijnenpaar op dat zich ook weer vanaf de tweede levensmaand op dezelfde manier voortplant. De jongen van dit konijnenpaar krijgen ook weer jongen, enzovoorts. Tellen we vervolgens elke maand het aantal konijnenparen dan geeft dat de rij 1, 1, 2, 3, 5, 8, ... . Deze rij is genoemd naar Leonardo van Pisa (1175-1250), bijgenaamd Fibonacci, die als eerste het konijnenprobleem beschreef. Hoewel het konijnenvoorbeeld niet erg realistisch is komen we de rij van Fibonacci vaak tegen in de natuur.
Op de (Engelstalige) pagina's van Ron Knott is veel te vinden over de rij van Fibonacci, over Fibonacci zelf en over de Gulden Snede die veel verbanden blijkt te hebben met de rij van Fibonacci.

DK & Wiskunde
Wiskundedocent Dick Klingens heeft een aanzienlijke hoeveelheid pagina's gemaakt met onderwerpen uit de middelbare-schoolwiskunde en onderwerpen die net iets verder gaan. Hij maakt veel gebruik van plaatjes en cabri-applets om theorie en bewijzen te verduidelijken.

Jim Loy's Mathematics page
Een verzameling artikelen over meetkunde, algebra, getaltheorie, kalenders, fractals & chaos, rijen, ...

De Stelling van Pythagoras
De bekendste stelling uit de wiskunde is ongetwijfeld de stelling van Pythagoras. Pythagoras (ca. 569 - ca. 475 vC, Samos) is niet degene die de stelling heeft bedacht, van Babylonische kleitabletten weten we dat de Babyloniërs de stelling al ruim 1000 jaar voor Pythagoras kenden. Men vermoedt dat Pythagoras de eerste is geweest die de stelling netjes bewezen heeft. Bewijzen van deze stelling zijn er genoeg: kijk maar eens bij Jim Loy, Angela Head of bij cut-the-knot waar maar liefst 36 verschillende bewijzen staan. Ivan de Winne (België) heeft webbladen gemaakt met allerlei opdrachten rondom de stelling van Pythagoras, daar zijn ook applets te vinden die laten zien hoe de stelling werkt.
Dick Klingens beschrijft op zijn pagina's de Elementen van Euclides, ook de stelling van Pythagoras komt aan de orde.
Meer informatie over Pythagoras zelf vind je bij de MacTutor History of Mathematics Archive, bij het tijdschrift Pythagoras en op de website van Willem van Ravenstein.

Wiskundig Denken
Aan de Katholieke Universiteit van Nijmegen wordt voor middelbare scholieren de cursus Wiskundig denken gegeven. Bij dit project kun je onder begeleiding van universitaire docenten en studenten een profielwerkstuk schrijven. In het begin was deze cursus vooral gebaseerd op het college Bewijzen dat voor wiskundestudenten aan de universiteit in het eerste jaar op het programma staat. Het cursusmateriaal staat op internet. Als je kennis wil maken met wiskunde zoals die op de universiteit beoefend wordt dan is dit zeker een aanrader.

 

Geschiedenis van de wiskunde
BiografieŽn van wiskundigen, historische achtergronden van verschillende onderwerpen binnen de wiskunde, ontstaansgeschiedenis van diverse begrippen.

Geschiedenis van de wiskunde en biografieën van wiskundigen
The MacTutor History of Mathematics archive is een hele uitgebreide (Engelstalige) site over de geschiedenis van de wiskunde. Je vindt er pagina's over verschillende onderwerpen zoals bijv. priemgetallen, raakvlakken tussen wiskunde en natuurkunde, de geschiedenis van het getal 0 of van π, wiskunde bij de Grieken, Maya's of Egyptenaren, enzovoorts. Een goed startpunt is de History Topics Index.
Daarnaast is er de Biographies Index met biografieën en vaak ook foto's van alle bekende en minder bekende wiskundigen. Altijd leuk om te weten is natuurlijk welke wiskundigen er `vandaag' geboren of gestorven zijn. Daar kom je achter via Mathematicians of the Day. Ook staan daar interessante citaten.
De wiskunde op deze site is af en toe van een redelijk hoog niveau maar het is zeker de moeite waard om er eens goed rond te kijken.

De Elementen van Euclides
De 'Elementen van Euclides' is waarschijnlijk de bekendste tekst over wiskunde. De 'Elementen' bestaat uit dertien boeken. Euclides (ca. 325-265 v. C, Alexandrië) heeft deze dertien boeken geschreven in een vorm die lijkt op een wiskundecursus over vlakke meetkunde. Vlakke meetkunde beschrijft de eigenschappen van punten, lijnen, hoeken, cirkels en andere meetkundige figuren in het platte vlak. De cursus begint met eenvoudige begrippen en stellingen en eindigt met de behandeling van de meetkundige kennis die ten tijde van Euclides bekend was. Het bijzondere aan de Elementen is dat Euclides een axiomatische aanpak gebruikt. Dat wil zeggen dat Euclides zijn beweringen niet zomaar doet maar ze allemaal netjes afleidt uit een beperkt aantal uitgangspunten (axioma's of postulaten). Euclides formuleert in de Elementen vijf postulaten. Het vijfde postulaat, ook wel parallellenpostulaat genoemd, heeft wiskundigen tot in de 19e eeuw beziggehouden en heeft mede geleid tot de ontwikkeling van de huidige meetkundige kennis.
In de Elementen vind je ook een aantal stellingen uit de schoolwiskunde terug zoals bijvoorbeeld de stelling van Pythagoras (boek 1 propositie 47). Kijk eerst hoe de java-applet werkt door in de inhoudsopgave (op de homepage in het plaatje klikken op `Euclid's Elements') te kiezen voor `using the geometry applet'.

Geschiedenis van wiskundige symbolen en begrippen
Om wiskunde kort en vooral duidelijk te noteren gebruiken we symbolen als =, +, √-teken, x voor de onbekende, ∞ enzovoorts. Vroeger was het zo dat iedere wiskundige er zijn eigen notaties op na hield, tegenwoordig zijn de verschillen veel minder groot. Op deze pagina's kun je lezen wanneer wiskundige symbolen voor het eerst zijn gebruikt en door wie. Wanneer bepaalde begrippen voor het eerst zijn gebruikt lees je hier.

 

Puzzels en wiskundige problemen
Van eenvoudige leuke puzzeltjes tot ingewikkelde maar wel uitdagende problemen.

De Wiskunde Olympiade
De Nederlandse Wiskunde Olympiade (NWO) is een wedstrijd voor middelbare scholieren uit de bovenbouw. De eerste ronde wordt op school gehouden. De besten gaan door naar de tweede ronde die ergens centraal in Nederland wordt gehouden. Er is ook nog een derde ronde voor de 6 beste deelnemers in Nederland: de Internationale Wiskunde Olympiade. Meer informatie over de eerste en tweede ronde vind je hier. Voor de opgaven van de tweede ronde (vanaf 1991) moet je doorklikken naar `opgaven en oplossingen'. Opgaven en uitwerkingen van de Internationale Wiskunde Olympiade staan hier (in het Engels).

KUN Wiskunde Toernooi
Nog meer uitdagende problemen bieden de opgaven van het KUN Wiskunde Toernooi. Dit toernooi voor middelbare scholieren wordt sinds 1992 jaarlijks op de Katholieke Universiteit Nijmegen georganiseerd. Op de site staan de opgaven (en uitwerkingen) van de afgelopen jaren. Van het toernooi van 2000 is ook een interacieve versie beschikbaar.

Kangoeroewedstrijd
Een andere leuke wedstrijd is de kangoeroewedstrijd. Deze wordt jaarlijks in maart gehouden voor middelbare scholieren van brugklas VMBO tot vijfde klas VWO. Niet iedereen krijgt dezelfde vragen. Er zijn 3 sets met opgaven: één voor leerlingen van de brugklas en tweede klas, één voor 3 en 4 VMBO en één voor 3, 4 en 5 HAVO/VWO. Het zijn telkens 30 korte, vaak puzzelachtige opgaven. Meer informatie over de wedstrijd en ook oude opgaven vind je hier.

NRICH
NRICH is een online Engels tijdschrift over wiskunde dat zich richt op jongeren. Er staan allerlei wiskundige puzzeltjes en problemen in, maar ook langere artikelen over verschillende onderwerpen uit de wiskunde. Op de eerste van elke maand (behalve augustus) komt een nieuwe versie uit. Vanaf de homepage kun je doorklikken naar `problems' in de linkerkolom voor allerlei puzzels en andere wiskundige problemen. Er zijn puzzels voor 5 tot 18-jarigen zoals je op de eerste pagina kunt zien. Bij `solutions' in de linkerkolom vind je de oplossingen van het vorige nummer. Bij `articles' vind je artikelen over de meest uiteenlopende wiskundige onderwerpen. Er is ook een archief met oudere nummers, kijk daarvoor bij `archive' in de linkerkolom.

KöMaL
Zin om mee te doen aan een wedstrijd? Dat kan op de site van het Hongaarse tijdschrift KöMaL.
Het is niet verbazingwekkend dat Hongarije altijd hoog eindigt bij de Internationale Wiskunde Olympiade. Het is daar heel gewoon dat je vanaf de lagere school meedoet aan allerlei (wiskunde)wedstrijden. Het tijdschrift KöMaL richt zich op 14- tot 18-jarigen. Elke maand staan er nieuwe opgaven (in het Engels) op de site, vaak zijn het Olympiade-achtige opgaven. Als je mee wil doen aan de wedstrijd heb je ruim een maand de tijd om oplossingen te bedenken. Kijk bij `the contest' hoe je mee kunt spelen. Bij `new problems' staan de opgaven. Oplossingen zijn er ook te vinden maar helaas alleen in het Hongaars.

Interactive Mathematics Miscellany and Puzzles
Dit is een hele uitgebreide site met veel interactieve puzzels en wiskunde. Vrijwel alle puzzels zijn voorzien van java-applets zodat je eerst eens goed kunt experimenteren voor je met slim redeneren een oplossing of een winnende strategie probeert te bedenken.
Daarnaast is er over de meest uiteenlopende wiskundige onderwerpen van alles te vinden. Veel theorie en bewijzen worden ondersteund door java-applets. Een prachtige site!

 

Praktisch
Links naar verschillende instellingen, andere wiskundepagina's, examens, software e.d.

WisFaq, de digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs
Heb je vragen over wiskunde, bekijk dan eens de WisFaq. Op deze pagina zijn vragen (en antwoorden!) over de meest uiteenlopende onderwerpen binnen de wiskunde verzameld. De kans is groot dat jouw vraag daar tussen staat. En zo niet dan kun je je vraag insturen die dan zo snel mogelijk door deskundigen beantwoord zal worden. Een pagina dus die zeer de moeite waard is om eens op rond te neuzen.

Nederlandse Vereniging van Wiskundeleraren
Op de site van de NVvW staat uitgebreide algemene informatie voor en over het wiskundeonderwijs.

Freudenthal Instituut
Nationaal expertise-centrum voor het reken-wiskundeonderwijs en ICT in het basis- en voortgezet onderwijs.

Wiskundelokaal van de Digitale School
Uitgebreide site voor leerlingen en leraren met links naar o.a. examens en uitwerkingen daarvan, software, diverse wiskundige onderwerpen, tijdschriften, puzzels, enzovoorts.

Pythagoras
Pythagoras is een Nederlands wiskundetijdschrift voor jongeren. Ook op de site van het tijdschrift is een schat aan informatie te vinden.

Vierkant voor Wiskunde
Deze stichting organiseert zomerkampen met wiskundige activiteiten, ondersteunt wiskundeclubs op scholen en geeft doeboekjes en kalenders uit.

Acrobat Reader
Veel materiaal wordt in pdf-formaat op het web gezet. Om pdf te kunnen lezen heb je de Acrobat Reader nodig. Deze kun je op de website van Adobedownloaden.